三分之一的機率中，可以透過更換選擇來提高機率，這是曾經讓許多人摸不著頭緒的 Monty-Hall Problem (三門問題)，你能參透其中的答案嗎？
起源#
Monty-Hall Problem 又稱三門問題、山羊問題、蒙提霍爾問題。
起源是一個源自Game Theory (博奕論)的數學遊戲問題，最早推測可能出自 1963 年的一個美國電視遊戲節目 - 「Let's Make a Deal (讓我們一起交易)」，其中該節目的主人名為「Monty Hall」，故稱做「Monty-Hall Problem」。
三門遊戲#
在節目中，參賽者的面前會有三道關閉的門，其中一道門後有著一輛汽車，其餘兩道門後則是山羊(我也不知道為啥是山羊…)，若是參賽者選中門後為汽車的門，那麼即可贏得汽車。
遊戲開始後，主持人會要求參賽者選擇一道門，不論這道門後是汽車或者山羊，主持人都會開啟參賽者所選的門之外，其餘兩道門中含有山羊的那道門 (主持人是知道門後狀況的)。
舉例，三道門分別為 A、B、C ，參賽者選擇了 C ，若是 B、C 門後皆為山羊，那麼主持人則會開啟 B 門；若是 A、B 門後為山羊，那麼主持人隨機選擇開啟 A 或 B 門。
到目前為止沒什麼太大問題，這時候我們探討的核心問題是…
「在主持人打開一道背後是山羊的門後，會詢問參賽者是否要更換剛剛所選的門，若是選擇換門，那麼參賽者贏得汽車的的機率是否會增加？」
聽起來很荒謬對吧！換不換門，其實對於結果並不會改變才對。
但若是我告訴你，這的確會使得贏得汽車的機率提高至 1/2 呢？
驗證#
為了方便探討機率，我們實際列舉所有可能性:
先假設
A、B門後是山羊，而C門後則是汽車
- 不換門
- 參賽者堅持選擇
A門，獲得山羊- 參賽者堅持選擇
B門，獲得山羊- 參賽者堅持選擇
C門，獲得汽車由此可知，贏得
汽車機率為1/3
- 換門
- 參賽者選擇
A門，主持人開B門，參賽者換C門，獲得汽車- 參賽者選擇
B門，主持人開A門，參賽者換C門，獲得汽車- 參賽者選擇
C門，主持人開A門，參賽者換B門，獲得山羊- 參賽者選擇
C門，主持人開B門，參賽者換A門，獲得山羊欸？贏得
汽車的機率變成1/2！？
這太不符合常理了，怎麼可能在選擇過後機率發生改變！？
別擔心，帶你繼續看下去。
但在解答之前，喜歡解題的朋友，可以先停在這邊好好思考一下。
解答#
其實，機率是沒有變的，一直都是 1/2！
在一開始的選擇當中，三道門選一道的機率確實是 1/3，但在主持人開啟一道門後(後面是山羊的門)，這等於刪除了一道門，此刻若是再給參賽者一次選擇，這次的選擇機率將會是 1/2，重點在於，我們必須將前後兩次選擇視為 獨立事件，真正影響參賽者贏得汽車機率的關鍵在於第二次的選擇。
我們再來重新列舉一次可能性:
先假設
A、B門後是山羊，而C門後則是汽車
並且 主持人已經開啟一道門 (第一次選擇不重要，此指的選擇是第二次選擇)
- 不換門
- 主持人刪除
B門，參賽者仍選擇A門，獲得山羊- 主持人刪除
A門，參賽者仍選擇B門，獲得山羊- 主持人刪除
A門，參賽者仍選擇C門，獲得汽車- 主持人刪除
B門，參賽者仍選擇C門，獲得汽車機率為
1/2
沒錯，這道陷阱題使人容易忽略了參賽者選擇汽車那道門時，主人持人選擇刪除門的可能性是有兩種的。
結論#
這麼一來你知道為什麼了嗎？(如果還是很矇，可以再重頭看一次XD)
有時候看一件事物時， 第一直覺 有可能會是 錯 的，當你深信自己的第一直覺而不求證時，很容易造成如同該題目一般的狀況，一直反覆的問自己為什麼，總是不能理解為什麼機率為 1/2 。
那是因為題目一開始就告訴你機率是 1/3 ，而我們在看到題目是「三道門選一道」的時候，就對此深信不已。
